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Esse conjunto de postagens é uma revisão para podermos fazer a lista de exercícios, uma boa leitura e bons raciocínios. Qualquer coisa podem postar comentários.

RELAÇÃO

Um conjunto R, é uma relação de A em B (AxB) se e somente se R está contido em AxB.

Exemplo:

A = {0, 1} e B= {2, 4}

AxB = {(0,2),(0,4),(1,2),(1,4)}

Duvidas…

1 ) R = Ø é uma relação de A em B?

Sim pois o conjunto vazio esta contido em qualquer conjunto.

2 ) R = {(0,4),(1,4)} é uma relação de A em B?

Sim pois todos os elementos de R estão em AxB, ou seja R⊂ AxB.

3 ) R = {(1,2)} é uma relação de A em B?

Sim pois todos os elementos de R estão em AxB, ou seja R⊂ AxB.

RELAÇÕES REFLEXIVAS, SIMÉTRICAS E TRANSITIVAS.

– REFLEXIVA

Seja A um conjunto e R uma relação de A em A, dizemos que tal relação é REFLEXIVA se e somente se para todo x ∈ A, tem-se x R x.

Ou para todo x ∈ A, (x,x)∈ R

Uma outra explicação. Uma relação e REFLEXIVA apenas quando, para cada elemento de A, tem se esse elemento duplicado na relação.

Exemplo (AxA)

A = {1,2,3}

R = {(1,1),(2,2),(,3,3)}

Duvidas…

R = {(1,2),(1,1),(,3,3)} é reflexiva ? Não pois o elemento 2 não se repete na relação (faltou 2,2). 2 ∈ A, mas (2,2) R.

S = {(1,1),(1,3,)(2,2),(2,1),(3,2)(,3,3)} é reflexiva? Sim pois todos os elementos de A se repetem na relação.

REFLEXIVA é a relação espelho, o primeiro conjunto tem que está completamente espelhado na relação.

– SIMÉTRICA

Seja R uma relação de A em A, (R⊂ AxA), dizemos que R é SIMÉTRICA se dado (x,y) ∈ R, então (y,x)∈ R.

Se para quaisquer que sejam x, y ∈ A, tem-se :

xRy⇒ yRx

ou seja se tem na relação (x,y) tem que ter o contrário (y,x) para ser simétrica.

Exemplo:

A = {a,b,c}

R = {(a,b),(a,a),(b,a),(c,c)} é simétrica pois o contrário de cada elemento da relação existe.

S = {(a,b)} não é simétrica pois deveria ter (b,a) o contrário na relação

T = {(a,b), (b,a)} é simétrica.

– TRANSITIVA

Seja R⊂ AxA (R é uma relação de A em A). É TRANSITIVA se dados (x,y) ∈ R e (y,z) ∈R, então (x,z) ∈ R.

Se para quaisquer que sejam x, y, z ∈ A, tem-se:

x R y e y R z ⇒ x Rz,

dizemos que a relação R é transitiva.

outra explicação: se tive na relação um par (x,y) e não um correspondente (y,z) tudo bem. Mas se tiver (x,y) e (y,z) então obrigatoriamente tem que ter (x,z).

Exemplo:

A = {1,2,3}

R = {(1,1),(1,3),(2,3),(3,1)} não é transitiva pois (2,3)∈R e (3,1)∈R mas (2,1)∉R

S = {(1,3),(3,2),(2,1),(1,2),(2,2)} é transitiva?

não pois (3,2) e (2,1) ∈ S, mas (3,1) ∉ S. (por  Lafaiet)

Aproveite para fazer a lista de exercícios até o número 03. 3a[1].lista.mat.disc.(2009-2)

só para  contar. As relações que são simultaneamente reflexivas, simétricas e transitivas são
chamadas relações de equivalência.